離散数学 08：集合とベン図で条件を整理する
集合は、条件に合うものの集まりです。試験では、和集合、積集合、補集合、部分集合、ベン図の考え方が出ます。集合は論理演算とも強くつながっています。
基本記号の考え方
- 和集合 A∪B: A または B に属するもの
- 積集合 A∩B: A かつ B に属するもの
- 補集合 A^c: A に属さないもの
- 部分集合 A⊆B: A の要素がすべて B に含まれること
記号が苦手な場合は、「または」「かつ」「ではない」に言い換えると読みやすくなります。
ベン図で見る
A と B の2つの円を描くと、全体は次の領域に分かれます。
- A だけ
- B だけ
- A と B の両方
- どちらでもない
問題文に「A または B」「A かつ B」「A でない」が出たら、どの領域を塗るかを考えます。
個数の問題
A または B の個数は、A の個数 + B の個数 - 両方に属する個数です。両方に属する部分を2回数えてしまうため、1回引きます。
例: A が 30人、B が 20人、両方が 8人なら、A または B は 30 + 20 - 8 = 42人です。
試験での見方
集合問題は、文章のまま考え続けると混乱します。小さなベン図を書き、重なりを先に決めます。特に「少なくとも一方」「両方ではない」「どちらでもない」は、領域で確認すると安全です。
確認問題
A が 18個、B が 12個、A∩B が 5個なら、A∪B はいくつでしょうか。
18 + 12 - 5 = 25 です。