離散数学 09：命題と条件を真偽で読む
命題とは、真か偽かが決まる文です。「2は偶数である」は真の命題です。「この数は大きい」は、基準がないと真偽が決まらないので、そのままでは命題として扱いにくい文です。
命題を部品に分ける
論理問題では、文章を P や Q という記号に置き換えます。
- P: 利用者がログインしている
- Q: メール確認が済んでいる
このとき「ログインしていて、かつメール確認が済んでいる」は P AND Q と考えられます。自然文を論理式に置き換える力が、真理値表や条件判定の土台になります。
必要条件と十分条件
「P ならば Q」を考えるとき、P は Q の十分条件、Q は P の必要条件です。
例: 「合格しているなら、得点が基準点以上である」。合格は基準点以上であることを十分に示します。一方、基準点以上であることは合格に必要な条件です。
ただし、実際の試験制度では複数条件がある場合もあります。問題文で与えられた条件だけに従うことが大切です。
対偶
「P ならば Q」が真なら、「Q でないなら P でない」も真です。これを対偶といいます。条件を直接扱いにくいとき、対偶で見ると解きやすくなることがあります。
試験での見方
命題問題では、曖昧な日本語をそのまま追わず、P、Q、R に分けます。次に AND、OR、NOT、ならば、のどれでつながっているかを確認します。
確認問題
「P ならば Q」の対偶は何でしょうか。
「Q でないなら P でない」です。